物理研究离不开数学。数学本身是逻辑性极强的科学，运用严谨的数学推导，可以从物理定律导出许多重要的推论，推导过程中不必担心逻辑上的错误。例如从万有引力的平方反比规律，可以从数学上推导出行星轨道可以是圆，也可以是椭圆。众所周知，微积分是牛顿和莱布尼兹创立的，他在物理学中的应用十分广泛，原因很简单，物理学研究物质的运动规律，既然运动，物理量就要变化，变化无非分连续变化和跳跃式变化两种，而微积分正好是处理连续变量的有力工具。至于跳跃式变化的变量，数学中也有恰当的工具，这就是矩阵，它在量子力学中有广泛应用。爱因斯坦的广义相对论，离不开数学中的黎曼几何，这是不同于欧几里德几何的一种全新的几何学，不懂黎曼几何，就无法看懂广义相对论，更不用说有所发现了。在固体物理中，还要用到群论这一数学工具，而量子力学中的状态空间，正好就是数学中的希尔伯特空间。数学中创立的变分法，在理论力学和量子力学中也起着重要作用。数学为物理学提供了简洁明了的语言，即数学语言，这是全世界通用的语言。电磁场本身的运动规律是多么复杂，但它们都可以用四个方程式，即麦克斯韦方程组简洁地表示出来，这足可以看出这种语言有多么强的表达能力！另一方面，数学中发展起来的反证法、综合法、归纳法、演绎法等推理方法，在物理学的各个部分中都有广泛应用，数学中发展起来的数理统计，成为统计物理学的基本数学工具。因此，一般来说，一个优秀的物理学家，往往也是一个数学家。

尽管如此，物理学和纯粹的数学还是有重大区别的。最明显的是许多代数方程或微分方程在数学上的允许解，往往因为没有物理意义而必须舍去。例如量子力学中薛定谔方程的解并不都代表物理上可存在的状态，只有满足单值、有界、连续等条件的解才是物理中需要的解，在多粒子系统中，除了满足薛定谔方程和单值、有界、连续等条件外，还要加上由于微观粒子的全同性带来的对解的特殊要求，而这些要求的提出，都不是数学本身可解决的问题，而必须靠物理学本身。

有一个例子是很有启发性的。狄拉克在发展他的相对论量子力学时，求解电子的波动方程可得到两组独立的特解，其中一组对应于当时已知的电子的正能量状态，而且正确地描述了电子的运动规律，另一组特解对应于负能量状态，按照一般物理学家的常规方法，这组解没有物理意义，应当舍去。但是，狄拉克毕竟不是一般的物理学家，他经过物理上的分析后发现，简单地舍去这组解是不行的，因为负能解既然存在，电子就可以实现从正能态到负能态的跃迁，并发射出γ光子。如果这样，世界上的电子早就全部跃迁到负能态上去了。但是，宇宙从诞生之日起已经历了上百亿年，宇宙中的电子并没有跃迁到负能态上去。根据这一事实，狄拉克猜想负能态几乎已经被电子全部占据，正能量的电子在负能态找不到自己的位置。所有负能态都被电子占据的空间就是我们通常所说的真空，因为它不存在任何可以探测到的效应。狄拉克由此得出一个非凡的物理思想：“真空”不空。如果由于某种原因使负能态的一个电子获得足够的能量，它就可以跃迁到正能态去，这样就在负能电子海中留下一个“空位”(空穴)，他的行为类似于具有正能的、但带正电荷的一个电子，狄拉克称之为正电子。后来，在1932年，安德森在宇宙射线中果然发现了正电子，它的性质与狄拉克预言的正电子完全相同。现在我们知道，“真空”不空这个概念具有普遍意义，这是物理学家正确的应用数学工具作出重大发现的光辉典范，它使人类对于真空本质的认识产生了一个飞跃。能够做出这样伟大的发现，说明了这位物理学家在数学和物理学两方面都达到了炉火纯正的境界。正因为这样，狄拉克从理论上预言的磁单极，虽然至今还没有在实验上发现，但人们坚信它应当存在。